Utilisateur:Mhon/Démonstration Stampacchia

Énoncé

Soient :

• ${\mathcal {H}}$ un espace de Hilbert muni de son produit scalaire noté $\langle .,.\rangle$
• $K$ une partie convexe fermée non-vide de ${\mathcal {H}}$
• $a(.,.)$ une forme bilinéaire qui est
  • continue sur ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ :  $\exists \,c>0,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|\quad \forall u,v\in {\mathcal {H}}$
  • coercive sur ${\mathcal {H}}$ :  $\exists \,\alpha >0\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}\quad \forall u\in {\mathcal {H}}$
• $L(.)$ une forme linéaire continue sur ${\mathcal {H}}$.

Sous ces conditions, il existe un unique $u$ de $K$ tel que :

$(1)\quad a(u,v-u)\geq L(v-u)\quad \forall \ v\in K$.

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors il existe un unique $u$ de $K$ qui minimise la fonctionnelle $I:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ définie par $I(v)={\frac {1}{2}}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$, c'est-à-dire :

$(2)\quad \exists !\,u\in K,\quad I(u)=\min _{v\in K}I(v)$

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique $f\in {\mathcal {H}}$ tel que $L(v)=\langle f,v\rangle$ pour tout $v\in {\mathcal {H}}$.

Pour tout $u\in {\mathcal {H}}$, l'application $v\mapsto a(u,v)$ est une forme linéaire continue sur ${\mathcal {H}}$ et donc de la même manière, il existe un unique élément $A(u)\in {\mathcal {H}}$ tel que $a(u,v)=\langle A(u),v\rangle$ pour tout $v\in {\mathcal {H}}$. On montre facilement que l'opérateur $A$ ainsi défini est un endomorphisme linéaire sur ${\mathcal {H}}$.

Par la continuité de $a$, il existe une constante $c>0$ telle que $\|A(u)\|^{2}=\langle A(u),A(u)\rangle =a(u,u)\leq c\|A(u)\|\|u\|$, d'où

$\qquad (3)\quad \forall \ u\in {\mathcal {H}}\quad \|A(u)\|\leq c\|u\|$.

Avec ces éléments, la relation $(1)$ s'écrit de manière équivalente :

$\exists !\,u\in K\quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0\quad \forall v\in K$

Pour tout réel $r$ strictement positif, c'est également équivalent à :

$\exists !\,u\in K\quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0\quad \forall v\in K,\ \forall r>0$

En utilisant le projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

$\exists !\,u\in K\quad u=p_{K}(rf-rA(u)+u)\quad \forall r>0$

où $p_{K}$ est l'opérateur de projection sur $K$. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer qu'il existe un unique $u\in K$ qui vérifie l'équation de point fixe $u=P(u)$ où l'application $P:K\rightarrow K$ est définie par $P(v)=p_{K}{\big (}rf-rA(v)+v{\big )}$.

Pour cela, montrons que $P$ est une application contractante. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $K$. Comme l'opérateur de projection $p_{K}$ est 1-lipschitzienne, on a

$\|P(x)-P(y)\|\leq \|x-y-rA(x-y)\|$

D'où

$\|P(x)-P(y)\|^{2}\leq \|x-y\|^{2}+r^{2}\|A(x-y)\|^{2}-2r\langle x-y,A(x-y)\rangle$

Comme la forme bilinéaire $a$ est coervice, on a $\langle A(x-y),x-y\rangle =a(x-y,x-y)\geq \alpha \|x-y\|^{2}$. Par ailleurs, en utilisant la relation $(3)$, on a l'inégalité $\|A(x-y)\|\leq c\|x-y\|$. Par conséquent

$\|P(x)-P(y)\|^{2}\leq {\big (}1+r^{2}c^{2}-2r\alpha {\big )}\|x-y\|^{2}$

L'application $P$ est contractante si et seulement si $(1+r^{2}c^{2}-2r\alpha )<1$, c'est-à-dire si on a $0<r<{\frac {2\alpha }{c^{2}}}$. En choisissant un tel $r$ et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique $u\in K$ tel que $u=p_{K}{\big (}rf-rA(u)+u{\big )}$, ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur ${\mathcal {H}}$. La coercivité implique que $a$ est définie et positive. On note par $\langle .,.\rangle _{a}$ ce produit scalaire qui est défini par :

$\forall x,y\in {\mathcal {H}}\quad \langle x,y\rangle _{a}=a(x,y)$

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires, il existe un unique $f\in {\mathcal {H}}$ tel que $L(v)=\langle f,v\rangle _{a}$ pour tout $v\in {\mathcal {H}}$.

La relation $(1)$ s'écrit alors de manière équivalente :

$\exists !\,u\in K\quad \langle f-u,v-u\rangle _{a}\leq 0\quad \forall v\in K$

En utilisant le projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

$\exists !\,u\in K\quad u=p_{K}^{a}(f)$

où $p_{K}^{a}$ est l'opérateur de projection sur $K$ utilisant le produit scalaire défini par $a$. La relation $(1)$ est donc équivalente à :

$\langle f-u,f-u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle _{a}$

soit encore

$\langle u,u\rangle _{a}-2\langle f,u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\left(\langle v,v\rangle _{a}-2\langle f,v\rangle _{a}\right)$

ou bien

${\frac {1}{2}}a(u,u)-L(u)=\min _{v\in K}\left({\frac {1}{2}}a(v,v)-L(v)\right)$, ce qui conclut la démonstration.

Applications

• Ce théorème sert notament en Mécanique où $I$ est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les Théorèmes énergétiques en Mécanique.
• Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de solutions faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
• Le théorème de Stampacchia permet aussi de déduire simplement le Théorème de Lax-Milgram.